Solução da Segunda Questão (Prova 2/ECA)

Uma esfera dielétrica de raios interno e externo respectivamente iguais a $a$ e $2a$ encontra-se carregada com uma distribuição inversamente proporcional à distância ao seu centro. Além disso, o dielétrico da esfera não é homogêneo, mas varia de acordo com
\[
\epsilon (r)=2\epsilon_0\frac{a}{r},
\]
onde $r$ é a distância ao centro das esferas. Determine
a) O campo elétrico nas regiões $0 < r\le a$ e $a\le r \le 2a$, $r\ge 2a$.
b) As densidades de carga de polarização volumétrica e superficiais (interna e externa) no dielétrico.
c) A diferença de potencial entre as superfícies interna e externa da esfera, $V(a)-V(2a)$.


a) Sendo a distribuição inversamente proporcional a $r$, digamos,
\[
\rho(r)=\frac{\beta}{r},
\]
onde $\beta$ é uma constante, teremos
\[
Q=\int_v\rho\,dv=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_a^{2a}\frac{\beta}{r}r^2\text{sin}\,\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi=4\pi\beta\frac{3a^2}2\Longrightarrow\beta=\frac{Q}{6\pi a^2}.
\]
Como os campos possuem simetria esférica, $\mathbf{E}=E(r)\bf{\hat r}$ e $\mathbf{D}=D(r)\bf{\hat r}$, considerando uma superfície gaussiana de raio $r$, teremos
\[
\oint_S\mathbf{E}{\bf\cdot\hat{n}}\,dS=E(r)4\pi r^2\quad\hbox{e}\quad\oint_S\mathbf{D}{\bf\cdot\hat{n}}\,dS=D(r)4\pi r^2.
\]
Para $0 < r < a$: a região é vácuo e não há carga interna à gaussiana. Assim
\[
\mathbf{E}=0.
\]
Para $a < r < 2a$: no dielétrico é mais conveniente usarmos a lei de Gauss para $\bf D$:
\[
4\pi r^2D=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_a^{r}\frac{Q}{6\pi a^2 r'}r'^2\text{sen}\,\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'=\frac{Q}{6\pi a^2}4\pi\frac{(r^2-a^2)}{2}=\frac{Q(r^2-a^2)}{3a^2}
\]
\[
\Longrightarrow {\bf{D}}=\frac{Q(r^2-a^2)}{12\pi a^2r^2}\,{\bf{\hat{r}}}=\epsilon {\bf E}=\frac{2\epsilon_0 a}{r}{\bf E}\Longrightarrow {\bf E}=\frac{Q(r^2-a^2)}{24\pi\epsilon_0 a^3r}\,{\bf{\hat r}}
\]
Para $r\ge 2a$, a região é o vácuo e a carga interna à gaussiana é a própria carga total da esfera, $Q$:
\[
\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\,{\bf{\hat r}}
\]

b) Precisamos do vetor de polarização no dielétrico: ${\bf P}=(\epsilon-\epsilon_0){\bf E}$:
\[
{\bf P}=\frac{(2a-r)}{r}\epsilon_0\,\frac{Q(r^2-a^2)}{24\pi\epsilon_0 a^3r}\,{\bf{\hat r}}=\frac{Q(2a-r)(r^2-a^2)}{24\pi a^3r^2}\,{\bf{\hat{r}}}
\]
As densidades de carga superficiais serão:
\[
\sigma_{P_a}={\bf P}(a){\bf\cdot}({-}{\bf{\hat{r}}})=0,\qquad  \sigma_{P_{2a}}={\bf P}(2a){\bf\cdot}{\bf{\hat{r}}}=0.
\]
E a densidade volumétrica de cargas de polarização:
\[
\rho_P=-{\bf\nabla\cdot P}={-}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2P)={-}\frac{Q}{24\pi a^3r^2}\frac{d}{dr}[(2a-r)(r^2-a^2)]=\frac{Q(3r^2-4ar-a^2)}{24\pi a^3r^2}
\]
c) Como $\mathbf{E}=E(r)\,\mathbf{\hat{r}}$ e $d\mathbf{r}=dr\,\mathbf{\hat{r}}+r\,d\theta\,\pmb{\hat{\theta}}+r\,\text{sen}\,\theta\,d\varphi\,\pmb{\hat{\varphi}}$, a d.d.p. será
\[
V(a)-V(2a)=-\int_{2a}^{a}{\bf E\cdot}d\mathbf{r}=\int_a^{2a}E\,dr=\frac{Q}{24\pi\epsilon_0 a^3}\int_a^{2a}{\left(r-\frac{a^2}r\right)\,dr}=\frac{Q}{24\pi\epsilon_0 a}\left(\frac32-\ln2\right)
\]