Solução da Terceira Questão (Prova 2/ECA)

Um feixe de elétrons de energia cinética $K$ é produzido por um acelerador. A uma distância $d$ da janela de saída do acelerador e perpendicular à direção do feixe, coloca-se uma placa metálica. Determine o valor mínimo do campo magnético que devemos aplicar na região para impedir que os elétrons atinjam a placa. Como deve estar orientado o vetor ${\bf{B}}$? Faça um desenho indicando claramente o campo magnético, a trajetória do elétron e a força que atua sobre ele. Considere conhecidas a massa $m$ e a carga $e$ do elétron.

Como a força magnética é sempre normal à velocidade da partícula em movimento, a trajetória do elétron num campo magnético uniforme e perpendicular à sua velocidade inicial será uma circunferência. Para que o elétron não atinja a placa, o máximo valor do raio da curvatura de sua trajetória será $d$. Assim:
\[
\frac{mv^2}{d}\le evB\Longrightarrow B_{\text{min}}=\frac{mv}{ed},
\]
sendo
\[
\frac12mv^2=K\Longrightarrow v=\sqrt{\frac{2K}{m}}\Longrightarrow B_{\text{min}}=\frac{1}{ed}\sqrt{2mK}
\]

A figura acima ilustra uma das possibilidades (observe que o elétron possui carga negativa, e a força magnética sobre ele tem sentido oposto ao produto ${\bf{v\times B}}$. A outra possibilidade seria o campo magnético saindo do plano da tela e o elétron sendo defletido para cima.