Esfera de raio $R$ e carga $Q$ distribuída uniformemente, girando com velocidade angular $\omega$ em torno de um eixo:
a) ao longo de seu volume:
Campo magnético em seu centro:
\[
\mathbf{B}={\bf{\hat{z}}}\, \frac{\mu_0 \omega Q}{12\pi R}
\]
Momento de dipolo magnético:
\[
\mathbf{m}={\bf{\hat{z}}}\,\frac25\omega QR^2
\]
b) ao longo de sua superfície:
\[
\mathbf{B}={\bf{\hat{z}}}\, \frac{\mu_0 \omega Q}{6\pi R}
\]
Momento de dipolo magnético:
\[
\mathbf{m}={\bf{\hat{z}}}\,\frac{\omega QR^2}{3}
\]
quarta-feira, 20 de junho de 2012
domingo, 17 de junho de 2012
Fis403: Solução dos exercícios propostos (lei de Biot-Savart)
Um disco de raio $a$ e carga elétrica total $Q$ está girando em torno de seu eixo de simetria com velocidade angular $\omega$ constante. Determinar o campo magnético produzido num ponto qualquer de seu eixo de simetria, nas seguintes situações:
i) a carga $Q$ está distribuída uniformemente sobre sua superfície;
ii) A carga $Q$ está distribuída de maneira diretamente proporcional à distância ao seu centro.
Solução: em qualquer caso utilizaremos a lei de Biot-Savart na forma apropriada a correntes superficiais:
\[
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{S'}\frac{\mathbf{K}(\mathbf{r'}){\bf{\times}}(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3}\,dS',
\]
com
\[
\mathbf{K}(\mathbf{r'})=\sigma\mathbf{v}=\sigma\omega\rho'\,{\bf{\hat{\varphi}}}'
\]
No item (i), $\sigma=\frac{Q}{\pi a^2}$, uma constante. No segundo caso, (ii), temos $\sigma\propto\rho'$. Seja $\beta$ a constante de proporcionalidade. Teremos
\[
Q=\int_{S'}\sigma\,dS'=\int_0^{2\pi}\int_0^a\beta\rho'^2\,d\rho'\,d\varphi'=\frac{2\pi\beta a^3}{3}\quad\Rightarrow\quad\beta=\frac{3Q}{2\pi a^3},
\]
de modo que
Em qualquer caso, $\mathbf{r}=z\,{\bf{\hat{z}}}$, $\mathbf{r'}=\rho'\,{\bf{\hat{\rho}}}'$, implicando
\[
\mathbf{r}-\mathbf{r'}=z\,{\bf{\hat{z}}}-\rho'{\bf{\hat{\rho}}}',\qquad |\mathbf{r}-\mathbf{r'}| = (z^2+\rho'^2)^{1/2}
\]
i) a carga $Q$ está distribuída uniformemente sobre sua superfície;
ii) A carga $Q$ está distribuída de maneira diretamente proporcional à distância ao seu centro.
Solução: em qualquer caso utilizaremos a lei de Biot-Savart na forma apropriada a correntes superficiais:
\[
\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{S'}\frac{\mathbf{K}(\mathbf{r'}){\bf{\times}}(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3}\,dS',
\]
com
\[
\mathbf{K}(\mathbf{r'})=\sigma\mathbf{v}=\sigma\omega\rho'\,{\bf{\hat{\varphi}}}'
\]
No item (i), $\sigma=\frac{Q}{\pi a^2}$, uma constante. No segundo caso, (ii), temos $\sigma\propto\rho'$. Seja $\beta$ a constante de proporcionalidade. Teremos
\[
Q=\int_{S'}\sigma\,dS'=\int_0^{2\pi}\int_0^a\beta\rho'^2\,d\rho'\,d\varphi'=\frac{2\pi\beta a^3}{3}\quad\Rightarrow\quad\beta=\frac{3Q}{2\pi a^3},
\]
de modo que
\[
\sigma=\frac{3Q}{2\pi a^3}\,\rho' \Rightarrow \mathbf{K}(\mathbf{r'})=\frac{3\omega Q}{2\pi a^3}\,\rho'^2\,{\bf{\hat{\varphi}}}'
\]
\sigma=\frac{3Q}{2\pi a^3}\,\rho' \Rightarrow \mathbf{K}(\mathbf{r'})=\frac{3\omega Q}{2\pi a^3}\,\rho'^2\,{\bf{\hat{\varphi}}}'
\]
Em qualquer caso, $\mathbf{r}=z\,{\bf{\hat{z}}}$, $\mathbf{r'}=\rho'\,{\bf{\hat{\rho}}}'$, implicando
\[
\mathbf{r}-\mathbf{r'}=z\,{\bf{\hat{z}}}-\rho'{\bf{\hat{\rho}}}',\qquad |\mathbf{r}-\mathbf{r'}| = (z^2+\rho'^2)^{1/2}
\]
e, para o item (i)
\[
\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0\omega Q}{8\pi^2 a^2}\int_{0}^{2\pi}\int_0^a \frac{(\rho'\,{\bf{\hat{\varphi}}}'){\bf{\times}}(z\,{\bf{\hat{z}}}-\rho'{\bf{\hat{\rho'}}})}{(z^2+\rho'^2)^{3/2}}\,\rho'\,d\rho'\,d\varphi'
\]
\[
\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0\omega Q}{8\pi^2 a^2}\int_{0}^{2\pi}\int_0^a \frac{({z\,\bf{\hat{\rho}}}'+\rho'\,{\bf{\hat{z}}})}{(z^2+\rho'^2)^{3/2}}\,\rho'^2\,d\rho'\,d\varphi'
\]
Como $\hat{\rho}'={\bf{\hat{x}}}\,\cos\varphi'+{\bf{\hat{y}}}\sin\varphi'$, o integral em ${\bf{\hat{\rho}}}'\,d\varphi'$ se anula, nos deixando com
\[
\mathbf{B}(z)={\bf{\hat{z}}}\,\frac{\mu_0\omega Q}{4\pi a^2}\int_0^a \frac{ \rho'^3\,d\rho' }{(z^2+\rho'^2)^{3/2}}
\]
Resolvendo a integral, fica
\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0\omega Q}{8\pi^2 a^2}\int_{0}^{2\pi}\int_0^a \frac{(\rho'\,{\bf{\hat{\varphi}}}'){\bf{\times}}(z\,{\bf{\hat{z}}}-\rho'{\bf{\hat{\rho'}}})}{(z^2+\rho'^2)^{3/2}}\,\rho'\,d\rho'\,d\varphi'
\]
\[
\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0\omega Q}{8\pi^2 a^2}\int_{0}^{2\pi}\int_0^a \frac{({z\,\bf{\hat{\rho}}}'+\rho'\,{\bf{\hat{z}}})}{(z^2+\rho'^2)^{3/2}}\,\rho'^2\,d\rho'\,d\varphi'
\]
Como $\hat{\rho}'={\bf{\hat{x}}}\,\cos\varphi'+{\bf{\hat{y}}}\sin\varphi'$, o integral em ${\bf{\hat{\rho}}}'\,d\varphi'$ se anula, nos deixando com
\[
\mathbf{B}(z)={\bf{\hat{z}}}\,\frac{\mu_0\omega Q}{4\pi a^2}\int_0^a \frac{ \rho'^3\,d\rho' }{(z^2+\rho'^2)^{3/2}}
\]
Resolvendo a integral, fica
\[
\mathbf{B}(z)={\bf{\hat{z}}}\,\frac{\mu_0\omega Q}{4\pi a^2}\left[\frac{ 2z^2+\rho'^2}{(z^2+\rho'^2)^{1/2}}\right]_0^a = {\bf{\hat{z}}}\,\frac{\mu_0\omega Q}{4\pi a^2} \left(\frac{2z^2+a^2}{\sqrt{z^2+a^2}}-2z \right)
\]
\mathbf{B}(z)={\bf{\hat{z}}}\,\frac{\mu_0\omega Q}{4\pi a^2}\left[\frac{ 2z^2+\rho'^2}{(z^2+\rho'^2)^{1/2}}\right]_0^a = {\bf{\hat{z}}}\,\frac{\mu_0\omega Q}{4\pi a^2} \left(\frac{2z^2+a^2}{\sqrt{z^2+a^2}}-2z \right)
\]
O desenvolvimento do item (ii) é semelhante; você pode pegar aqui a solução da integral em $\rho'$. (Obs: na expressão retornada pelo site da Wolfram, $\log$ significa na verdade $\ln$, o logaritmo natural, base $e$)
quarta-feira, 13 de junho de 2012
Fis403: Problema 10 da Lista 4
O campo produzido por uma espira circular de raio $a$, localizada na origem do planp $xy$ de um sistema de coordenadas, percorrida por uma corrente $I$ num ponto de seu eixo de simetria (eixo $z$) é $$\vec B=\frac{\mu_0 Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\,\hat{z}$$. Nessa expressão, $\mu_0$ é uma constante (permeabilidade magnética do vácuo), culo valor no S.I. é $4\pi.10^{-7}$H/m.
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