Solução da Primeira Questão (Prova 2/ECA)


Um cilindro condutor infinito oco, de raio interno $a$ e externo $2a$, encontra-se carregado com carga em excesso dada por
\[
\sigma = \frac{\lambda}{4\pi a}

\]
No eixo do cilindro existe um fio também infinito dotado de uma carga distribuída uniformemente com densidade $\lambda$. 
Determine:
a) O campo elétrico em todas as regiões do espaço ($\rho<a$, $a<\rho<2a$, $\rho>2a$).
b) As densidades de cargas nas superfíces interna e externa do cilindro.


Por simetria, o campo elétrico é da forma $\mathbf{E}=E(\rho)\,{\pmb{\hat\rho}}$. Para uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento $L$ e raio $\rho$, coaxial ao fio, teremos
\[
\oint_S\mathbf{E}{\bf{\cdot\hat{n}}}\,dS=E(\rho)2\pi\rho L.
\]
Para $0 < \rho < a$, a carga interna à gaussiana será apenas a do fio:
\[
E(\rho)2\pi\rho L=\frac{\lambda L}{\epsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\rho}\,\bf{{\pmb{\hat\rho}}}.
\]
Para $a < \rho < 2a$, $\mathbf{E}=0$, pois o campo é necessariamente nulo na situação de equilíbrio eletrostático. Para garantir isso, uma carga será induzida na superfície interna do cilindro condutor: seja $\sigma_a$ sua densidade. Para uma gaussiana de comprimento $L$ com raio $\rho$, $a < \rho < 2a$:
\[
Q_i=\lambda L+2\pi aL\sigma_a=0\Longrightarrow\sigma_a={-}\frac{\lambda}{2\pi a}.
\]
Como a carga se conserva, num mesmo comprimento $L$, uma carga adicional de igual módulo, porém de sinal oposto, será induzida na superfície externa. Sendo $\sigma'_{2a}$ sua densidade:
\[
2\pi 2aL\sigma'_{2a}=\lambda L\Longrightarrow \sigma'_{2a}=\frac{\lambda}{4\pi a}.
\]
Como o cilindro condutor já possui uma carga em excesso $\sigma=\lambda/(4\pi a)$, a densidade de cargas total $\sigma_{2a}$ na superfície externa será
\[
\sigma_{2a}=\sigma+\sigma'_{2a}=\frac{\lambda}{2\pi a}
\]
Para $\rho >  2a$, as cargas do fio e do cilindro estarão inclusas na gaussiana, de modo que:
\[
2\pi\rho LE=\frac{1}{\epsilon_0}\left(\lambda L+2\pi 2aL\frac{\lambda}{4\pi a}\right)\Longrightarrow\mathbf{E}=\frac{\lambda}{\pi\epsilon_0\rho}\,\pmb{\hat{\rho}}
\]