Prova de Fis641: Eletromagnetismo I

Foi disponibilizada a primeira prova de Fis641 - Eletromagnetismo I (FBA/Unifei/2011) e sua solução. Confira nesse link ou nesse link direto para download em formato pdf.

Solução da Terceira Questão (Prova 2/EEL)

a) A força de origem magnética sobre um fio muito fino conduzindo corrente é

\[

{{{\mathbf{F}}}}=I\int_l{d{{{\mathbf{l}}}}\,}\,{\bf{\times}}\,{{{{\mathbf{B}}}}}.

\]

Como o campo ${{{\mathbf{B}}}}$ é uniforme, essa expressão se transforma em

\[

{{{\bf{F}}}}=I\left(\int_{l}d{{{\mathbf{l}}}}\right){\bf{\times}}{{{\mathbf{B}}}}=I{{{\mathbf{L}}}}\,{\bf{\times}}\,{{{{\mathbf{B}}}}},

\]

onde ${{\bf{L}}}$ é o vetor posição do ponto extremo do condutor relativamente à sua origem. Assim:

\[

{{{\mathbf{F}}}}_{AB}=I(a\,{\bf\hat y}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})={-}BIa\,{\bf\hat z},\quad{{{\mathbf{F}}}}_{BC}=I(a\,{\bf\hat x}-a\,{\bf\hat y}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})=BIa\,{\bf\hat z},\quad{{{\mathbf{F}}}}_{CA}=I({-}a\,{\bf\hat x}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})=0.

\]

Como não podia deixar de ser (o campo é uniforme!), a força total sobre a espira é nula.

b)  O torque sobre uma espira em um campo magnético uniforme é ${\bf{\tau}}\!\!\!\!{\bf{\tau}}={{{\mathbf{m}}}}\,{\bf{\times}}\,{{{{\mathbf{B}}}}}$, onde, para uma espira plana de área $A$, ${{\mathbf{m}}}=IA\,{\bf\hat n}$ (${\bf\hat n}$ é o versor perpendicular ao plano da espira, orientado de acordo com a regra da mão direita aplicada ao sentido de circulação da corrente na espira). Desse modo, decorre imediatamente:

\[

{{\mathbf{m}}}=I\frac{\pi a^2}4({-}{\bf\hat z})\quad\Longrightarrow\quad{\bf{\tau}}\!\!\!\!{\bf{\tau}}=\frac{\pi a^2I}4({-}{\bf\hat z}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})={-}{\bf\hat y}\,\frac{\pi BIa^2}{4}

\]

Solução da Segunda Questão (Prova 2/EEL)

a) Suponha que uma bateria de d.d.p. $V$ tenha sido conectada ao capacitor, com seu pólo positivo na placa interna deste e, em função disso, as placas interna e externa do capacitor tenham adquirido cargas respectivamente iguais a ${+}Q$ e ${-}Q$. Desprezando os efeitos de borda, podemos assumir que a distribuição de carga em cada placa do capacitor é uniforme e que os campos ${{{\bf{E}}}}$, ${{{\bf{P}}}}$ e ${{{\bf{D}}}}$ possuem simetria cilíndrica, isto é, são, por exemplo, da forma $\mathbf{D}=D(\rho)\,{\bf{\hat{\rho}}}$. Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $\rho$, $a < \rho < 2a$, coaxial ao capacitor e por toda a extensão dele, a lei de Gauss para o vetor deslocamento ${{{\bf{D}}}}=\epsilon{{{\bf{E}}}}=\epsilon_{0}{{{\bf{E}}}}+{{{\bf{P}}}}$ fica
\[
\oint_{S}{{\bf{D}}}{\bf{\cdot}}{\bf\hat n}\,dS=Q_{l_i}=Q\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{D}}}}={\bf\hat\rho}\,\frac{Q}{2\pi\rho L}=\epsilon{{{\bf{E}}}}=\frac{2\epsilon_{0} a}{\rho}{{{\bf{E}}}}\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}={\bf\hat\rho}\,\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0} a L}.
\]
Por outro lado, a d.d.p. entre as placas é obtido pela integral de linha do campo elétrico:
\[
V={V(a)}-{V(2a)}={-}\int_{{\scriptsize{ext}}}^{{\scriptsize{int}}}{{{{\bf{E}}}}}\,{\bf{\cdot}}\,{d{{{\bf{r}}}}}=\int_a^{2a}E\,d\rho=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0} L}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac QV=4\pi\epsilon_{0} L
\]

b)  Se $V=V_0$, $Q=CV_0=4\pi\epsilon_{0} LV_0$, de modo que ${\mathbf{E}}={\bf\hat\rho}\,V_0/a$. Assim,
\[
{{{\bf{P}}}}=(\epsilon-\epsilon_{0}){{{\bf{E}}}}=\left(\frac{2\epsilon_{0} a}{\rho}-\epsilon_{0}\right)\frac{V_0}{a}\,{\bf\hat\rho}=\frac{(2a-\rho)\epsilon_{0} V_0}{a\rho}\,{\bf\hat\rho}.
\]
A densidade volumétrica de cargas é portanto:
\[
{\rho_{P}}={-}{\mathbf{\nabla}}{\bf{\cdot}}{{{\bf{P}}}}={-}\frac1{\rho}\frac{d\phantom{1}}{d\rho}{(\rho P_\rho)}={-}\frac1{\rho}\frac{d\phantom{1}}{d\rho}\left[\frac{(2a-\rho)\epsilon_{0} V_0}{a}\right]=\frac{\epsilon_{0} V_0}{a\rho}.
\]
As densidades superficiais são dadas por ${\sigma_{P}}={{{{\bf{P}}}}}\,{\mathbf{\cdot}}\,{{\bf\hat n}}$, de modo que teremos, na superfície interna e externa do dielétrico, respectivamente:
\[
{\sigma_{P}}_a={{\mathbf{P}}}(a){\bf{\cdot}} ({-}{\bf\hat\rho})={-}\frac{\epsilon_{0} V_0}{a},\qquad{\sigma_{P}}_{2a}={{\mathbf{P}}(2a)}\,{\bf{\cdot}}\,{{\bf\hat\rho}}=0.
\]

Solução da Primeira Questão (Prova 2/EEL)

a) Pela simetria da distribuição, $\mathbf{E}=E(r)\,{\bf\hat r}$, implicando que a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio $r$ concêntrica à distribuição se escreve
\[
\oint_{S}{{\bf{E}}}{\mathbf{\cdot}}{\bf\hat n}\,dS=4\pi r^2E(r)=\frac{Q_i}{\epsilon_{0}}\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}=\frac{Q_i}{4\pi\epsilon_{0} r^2}\,{\bf\hat r}.
\]
(i) Para $r\le a$:
\[
Q_i=\int_{v'}{\rho({{{\bf{r^{\prime}}}}})}\, dv'=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{r}\frac{\rho_o r'}ar'^{2}\,\hbox{sen}\,\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'=\frac{\pi{\rho_0} r^4}a\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}=\frac{{\rho_0} r^2}{4\epsilon_{0} a}\,{\bf\hat r}.
\]
(ii) Para $a\le r < 2a$:
\[
Q_i=\int_{v'}{\rho({{{\bf{r^{\prime}}}}})}\, dv'=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}\frac{\rho_o r'}ar'^{2}\,\hbox{sen}\,\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'=\pi{\rho_0} a^3\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}=\frac{{\rho_0} a^3}{4\epsilon_{0} r^2}\,{\bf\hat r}.
\]
(iii) Para $2a < r < 3a$: ${{{\bf{E}}}}=0$, pois é uma região condutora em equilíbrio eletrostático.\\
(iv) Para $r>3a$:
\[
Q_i=\pi{\rho_0} a^3+Q\Longrightarrow{{{\bf{E}}}}=\frac{\pi{\rho_0} a^3+Q}{4\pi\epsilon_{0} r^2}\,{\bf\hat r}
\]


b)  No interior do condutor em equilíbrio eletrostático não existem cargas em excesso, portanto $\rho_{v}=0$. Nas proximidades das superfícies,
\[
{{{\bf{E}}}}=\frac\sigma\epsilon_{0}\,{\bf\hat n}\Longrightarrow\sigma=\epsilon_{0}\,{{\bf\hat n}}\,{\mathbf{\cdot}}\,{{{{\bf{E}}}}}.
\]
Assim, na superfície interna ($r=2a$, ${\bf\hat n}={-}{\bf\hat r}$),
\[
\sigma_{2a}={-}\epsilon_{0}\,{\bf\hat r}{\mathbf{\cdot}}{{{{\bf{E}}}}(r\to{2a-})}={-}\frac{{\rho_0} a^3}{4\epsilon_{0}(2a)^2}={-}\frac{{\rho_0} a}{16}.
\]
Na superfície externa ($r=3a$, ${\bf\hat n}={\bf\hat r}$),
\[
\sigma_{3a}=\epsilon_{0}\,{\bf\hat r}{\mathbf{\cdot}}{{{{\bf{E}}}}(r\to{3a+})}=\frac{\pi{\rho_0} a^3+Q}{4\pi\epsilon_{0} (3a)^2}=\frac{Q+\pi{\rho_0} a^3}{36\pi a^2}.
\]
Alternativamente, esses mesmos resultados podem ser obtidos considerando que, a fim de que o campo no interior do condutor possa ser nulo, uma carga oposta à da esfera de raio $a$, ${-}\pi{\rho_0} a^3$, será induzida na superfície interna do condutor, que dividida pela área deste resulta no mesmo valor $\sigma_{2a}$ acima. Por conservação da carga elétrica, uma carga extra de ${+}\pi{\rho_0} a^3$ será também induzida na superfície externa do condutor.\\


c)  Como $\mathbf{E}\,{\mathbf{\cdot}}\,{d{{{\bf{r}}}}}=E\,dr$, temos
\[
{{V(a)}-{V(3a)}}={-}\int_{3a}^{a} E\,dr=\int_{a}^{3a}E\,dr=\int_{a}^{2a}E\,dr+\int_{2a}^{3a}E\,dr=\int_{a}^{2a}\frac{{\rho_0} a^3}{4\epsilon_{0} r^2}\,dr+0=\frac{{\rho_0} a^2}{8\epsilon_{0}}
\]

Segunda Prova de Fis403 Turma EEL

Questão 1) No centro de uma esfera metálica oca de raios interno e externo respectivamente iguais a $2a$ e $3a$, carregada com carga $Q$, encontra-se uma esfera de raio $a$, não condutora, com uma carga distribuída de acordo com

\[\rho(r)=\rho_0\frac ra.\]

Determine:

a) O campo elétrico em todas as regiões do espaço ($r<a$, $a<r<2a$, $2a<r<3a$ e $r>3a$).

b) As densidades de carga presentes no condutor (volumétrica, superfície interna e externa).

c) A diferença de potencial entre as superfíces externas das esferas não condutora e a condutora, $V(a)-V(3a)$.

Veja a solução aqui.

Questão 2) Um capacitor cilíndrico é formado por duas placas condutoras coaxiais de raios $a$ e $2a$, ambas de comprimento $L>>2a$, de modo que os efeitos de borda podem ser desprezados. A região entre as placas é preenchida com um dielétrico não homogênio de permissividade

\[\epsilon (\rho)=2\epsilon_0\frac a\rho,\]

onde $\rho$ é a distância ao eixo dos cilindros. Determine:

a) A capacitância desse dispositivo.

b) As densidades de carga de polarização volumétrica e superficiais (interna e externa) no dielétrico quando o capacitor for conectado a uma bateria de d.d.p. $V_0$ (terminal positivo conectado à placa interna do capacitor).

Veja a solução aqui.

Questão 3) A espira condutora da figura abaixo tem a forma de um quarto de circunferência de raio $a$, e encontra-se no plano $xy$ de um sistema de coordenadas, onde existe um campo magnético uniforme de indução $\mathbf{ B}=B\,\bf{\hat{x}}$. Sendo $I$ a corrente que percorre a espira, determine:

a) As forças magnéticas em cada trecho da espira (AB, BC e CA).

b) O torque que atua sobre a espira.

Veja a solução aqui.

Teste LaTeX inline:

  \[\begin{aligned}
\int_{{-}\infty}^{\infty} e^{{-}x^2}\, dx=\left(\int_{{-}\infty}^{\infty}\int_{{-}\infty}^{\infty} \hbox{e}^{{-}(x^2+y^2)}\,dx\,dy\right)^{1/2}=\left(\int_{0}^{2\pi}\int_{{-}\infty}^{\infty}e^{{-}\rho^2}\rho\,d\rho\,d\phi\right)^{1/2}=\sqrt{\pi} \\
\end{aligned} \]

Equações de Maxwell

\begin{aligned}
\nabla \cdot {\mathbf{E}} & = \frac\rho{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot {\mathbf{B}} & = 0 \\
\nabla \times {\mathbf{E}}\, +\, \frac{\partial{\mathbf{B}}}{\partial t} & = {\mathbf{0}} \\\nabla \times {\mathbf{B}} -\, \frac1{c^2}\, \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} & = \mu_0\mathbf{J}
\end{aligned}