Solução da Segunda Questão (Prova 2/EEL)

a) Suponha que uma bateria de d.d.p. $V$ tenha sido conectada ao capacitor, com seu pólo positivo na placa interna deste e, em função disso, as placas interna e externa do capacitor tenham adquirido cargas respectivamente iguais a ${+}Q$ e ${-}Q$. Desprezando os efeitos de borda, podemos assumir que a distribuição de carga em cada placa do capacitor é uniforme e que os campos ${{{\bf{E}}}}$, ${{{\bf{P}}}}$ e ${{{\bf{D}}}}$ possuem simetria cilíndrica, isto é, são, por exemplo, da forma $\mathbf{D}=D(\rho)\,{\bf{\hat{\rho}}}$. Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $\rho$, $a < \rho < 2a$, coaxial ao capacitor e por toda a extensão dele, a lei de Gauss para o vetor deslocamento ${{{\bf{D}}}}=\epsilon{{{\bf{E}}}}=\epsilon_{0}{{{\bf{E}}}}+{{{\bf{P}}}}$ fica
\[
\oint_{S}{{\bf{D}}}{\bf{\cdot}}{\bf\hat n}\,dS=Q_{l_i}=Q\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{D}}}}={\bf\hat\rho}\,\frac{Q}{2\pi\rho L}=\epsilon{{{\bf{E}}}}=\frac{2\epsilon_{0} a}{\rho}{{{\bf{E}}}}\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}={\bf\hat\rho}\,\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0} a L}.
\]
Por outro lado, a d.d.p. entre as placas é obtido pela integral de linha do campo elétrico:
\[
V={V(a)}-{V(2a)}={-}\int_{{\scriptsize{ext}}}^{{\scriptsize{int}}}{{{{\bf{E}}}}}\,{\bf{\cdot}}\,{d{{{\bf{r}}}}}=\int_a^{2a}E\,d\rho=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0} L}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac QV=4\pi\epsilon_{0} L
\]

b)  Se $V=V_0$, $Q=CV_0=4\pi\epsilon_{0} LV_0$, de modo que ${\mathbf{E}}={\bf\hat\rho}\,V_0/a$. Assim,
\[
{{{\bf{P}}}}=(\epsilon-\epsilon_{0}){{{\bf{E}}}}=\left(\frac{2\epsilon_{0} a}{\rho}-\epsilon_{0}\right)\frac{V_0}{a}\,{\bf\hat\rho}=\frac{(2a-\rho)\epsilon_{0} V_0}{a\rho}\,{\bf\hat\rho}.
\]
A densidade volumétrica de cargas é portanto:
\[
{\rho_{P}}={-}{\mathbf{\nabla}}{\bf{\cdot}}{{{\bf{P}}}}={-}\frac1{\rho}\frac{d\phantom{1}}{d\rho}{(\rho P_\rho)}={-}\frac1{\rho}\frac{d\phantom{1}}{d\rho}\left[\frac{(2a-\rho)\epsilon_{0} V_0}{a}\right]=\frac{\epsilon_{0} V_0}{a\rho}.
\]
As densidades superficiais são dadas por ${\sigma_{P}}={{{{\bf{P}}}}}\,{\mathbf{\cdot}}\,{{\bf\hat n}}$, de modo que teremos, na superfície interna e externa do dielétrico, respectivamente:
\[
{\sigma_{P}}_a={{\mathbf{P}}}(a){\bf{\cdot}} ({-}{\bf\hat\rho})={-}\frac{\epsilon_{0} V_0}{a},\qquad{\sigma_{P}}_{2a}={{\mathbf{P}}(2a)}\,{\bf{\cdot}}\,{{\bf\hat\rho}}=0.
\]