Solução da Terceira Questão (Prova 2/EEL)

a) A força de origem magnética sobre um fio muito fino conduzindo corrente é

\[

{{{\mathbf{F}}}}=I\int_l{d{{{\mathbf{l}}}}\,}\,{\bf{\times}}\,{{{{\mathbf{B}}}}}.

\]

Como o campo ${{{\mathbf{B}}}}$ é uniforme, essa expressão se transforma em

\[

{{{\bf{F}}}}=I\left(\int_{l}d{{{\mathbf{l}}}}\right){\bf{\times}}{{{\mathbf{B}}}}=I{{{\mathbf{L}}}}\,{\bf{\times}}\,{{{{\mathbf{B}}}}},

\]

onde ${{\bf{L}}}$ é o vetor posição do ponto extremo do condutor relativamente à sua origem. Assim:

\[

{{{\mathbf{F}}}}_{AB}=I(a\,{\bf\hat y}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})={-}BIa\,{\bf\hat z},\quad{{{\mathbf{F}}}}_{BC}=I(a\,{\bf\hat x}-a\,{\bf\hat y}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})=BIa\,{\bf\hat z},\quad{{{\mathbf{F}}}}_{CA}=I({-}a\,{\bf\hat x}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})=0.

\]

Como não podia deixar de ser (o campo é uniforme!), a força total sobre a espira é nula.

b)  O torque sobre uma espira em um campo magnético uniforme é ${\bf{\tau}}\!\!\!\!{\bf{\tau}}={{{\mathbf{m}}}}\,{\bf{\times}}\,{{{{\mathbf{B}}}}}$, onde, para uma espira plana de área $A$, ${{\mathbf{m}}}=IA\,{\bf\hat n}$ (${\bf\hat n}$ é o versor perpendicular ao plano da espira, orientado de acordo com a regra da mão direita aplicada ao sentido de circulação da corrente na espira). Desse modo, decorre imediatamente:

\[

{{\mathbf{m}}}=I\frac{\pi a^2}4({-}{\bf\hat z})\quad\Longrightarrow\quad{\bf{\tau}}\!\!\!\!{\bf{\tau}}=\frac{\pi a^2I}4({-}{\bf\hat z}){\bf{\times}}(B\,{\bf\hat x})={-}{\bf\hat y}\,\frac{\pi BIa^2}{4}

\]