Solução da Primeira Questão (Prova 2/EEL)

a) Pela simetria da distribuição, $\mathbf{E}=E(r)\,{\bf\hat r}$, implicando que a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio $r$ concêntrica à distribuição se escreve
\[
\oint_{S}{{\bf{E}}}{\mathbf{\cdot}}{\bf\hat n}\,dS=4\pi r^2E(r)=\frac{Q_i}{\epsilon_{0}}\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}=\frac{Q_i}{4\pi\epsilon_{0} r^2}\,{\bf\hat r}.
\]
(i) Para $r\le a$:
\[
Q_i=\int_{v'}{\rho({{{\bf{r^{\prime}}}}})}\, dv'=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{r}\frac{\rho_o r'}ar'^{2}\,\hbox{sen}\,\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'=\frac{\pi{\rho_0} r^4}a\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}=\frac{{\rho_0} r^2}{4\epsilon_{0} a}\,{\bf\hat r}.
\]
(ii) Para $a\le r < 2a$:
\[
Q_i=\int_{v'}{\rho({{{\bf{r^{\prime}}}}})}\, dv'=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}\frac{\rho_o r'}ar'^{2}\,\hbox{sen}\,\theta'\,dr'\,d\theta'\,d\varphi'=\pi{\rho_0} a^3\quad\Longrightarrow\quad{{{\bf{E}}}}=\frac{{\rho_0} a^3}{4\epsilon_{0} r^2}\,{\bf\hat r}.
\]
(iii) Para $2a < r < 3a$: ${{{\bf{E}}}}=0$, pois é uma região condutora em equilíbrio eletrostático.\\
(iv) Para $r>3a$:
\[
Q_i=\pi{\rho_0} a^3+Q\Longrightarrow{{{\bf{E}}}}=\frac{\pi{\rho_0} a^3+Q}{4\pi\epsilon_{0} r^2}\,{\bf\hat r}
\]


b)  No interior do condutor em equilíbrio eletrostático não existem cargas em excesso, portanto $\rho_{v}=0$. Nas proximidades das superfícies,
\[
{{{\bf{E}}}}=\frac\sigma\epsilon_{0}\,{\bf\hat n}\Longrightarrow\sigma=\epsilon_{0}\,{{\bf\hat n}}\,{\mathbf{\cdot}}\,{{{{\bf{E}}}}}.
\]
Assim, na superfície interna ($r=2a$, ${\bf\hat n}={-}{\bf\hat r}$),
\[
\sigma_{2a}={-}\epsilon_{0}\,{\bf\hat r}{\mathbf{\cdot}}{{{{\bf{E}}}}(r\to{2a-})}={-}\frac{{\rho_0} a^3}{4\epsilon_{0}(2a)^2}={-}\frac{{\rho_0} a}{16}.
\]
Na superfície externa ($r=3a$, ${\bf\hat n}={\bf\hat r}$),
\[
\sigma_{3a}=\epsilon_{0}\,{\bf\hat r}{\mathbf{\cdot}}{{{{\bf{E}}}}(r\to{3a+})}=\frac{\pi{\rho_0} a^3+Q}{4\pi\epsilon_{0} (3a)^2}=\frac{Q+\pi{\rho_0} a^3}{36\pi a^2}.
\]
Alternativamente, esses mesmos resultados podem ser obtidos considerando que, a fim de que o campo no interior do condutor possa ser nulo, uma carga oposta à da esfera de raio $a$, ${-}\pi{\rho_0} a^3$, será induzida na superfície interna do condutor, que dividida pela área deste resulta no mesmo valor $\sigma_{2a}$ acima. Por conservação da carga elétrica, uma carga extra de ${+}\pi{\rho_0} a^3$ será também induzida na superfície externa do condutor.\\


c)  Como $\mathbf{E}\,{\mathbf{\cdot}}\,{d{{{\bf{r}}}}}=E\,dr$, temos
\[
{{V(a)}-{V(3a)}}={-}\int_{3a}^{a} E\,dr=\int_{a}^{3a}E\,dr=\int_{a}^{2a}E\,dr+\int_{2a}^{3a}E\,dr=\int_{a}^{2a}\frac{{\rho_0} a^3}{4\epsilon_{0} r^2}\,dr+0=\frac{{\rho_0} a^2}{8\epsilon_{0}}
\]